\(a,BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=15\left(cm\right)\left(pytago\right)\)

\(b,\) Áp dụng HTL: \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\Leftrightarrow AH=\dfrac{9\cdot12}{15}=7,2\left(cm\right)\)

\(c,\) Dễ thấy AEHF là hcn

Do đó \(\widehat{HAF}=\widehat{EFA}\)

Mà \(\widehat{HAF}=\widehat{HBA}\left(cùng.phụ.\widehat{HAB}\right)\)

Do đó \(\widehat{EFA}=\widehat{HBA}\)

Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{HBA}=\widehat{EFA}\\\widehat{BAC}.chung\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta AEF\sim\Delta ACB\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\Rightarrow AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

\(d,\) Áp dụng HTL: \(\left\{{}\begin{matrix}AH^2=EA\cdot AB\\AH^2=FA\cdot AC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AE=\dfrac{AH^2}{AB}=5,76\left(cm\right)\\AF=\dfrac{AH^2}{AC}=4,32\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow S_{AEF}=\dfrac{1}{2}AE\cdot AF=\dfrac{1}{2}\cdot5,76\cdot4,32=12,4416\left(cm^2\right)\)

Mà \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB\cdot AC=54\left(cm^2\right)\)

Vậy \(S_{BEFC}=S_{ABC}-S_{AEF}54-12,4416=41,5584\left(cm^2\right)\)

b) Xét tam giác ABH vuông tại H có HE là đường cao

⇒ AE.AB = AH2 (1)

Xét tam giác AHC vuông tại H có HF là đường cao

⇒ AF.AC = A H 2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AE.AB = AF.AC

`a)` Tỉ số lượng giác góc `B` của \(\Delta ABC\)

\(SinB=\dfrac{AC}{BC}\\ CosB=\dfrac{AB}{BC}\\ TanB=\dfrac{AC}{AB}\\ CotB=\dfrac{AB}{AC}\)

`b)` Tính `BC,AH`

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại `A`, đường cao `AH`

Ta có: \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\left(htl\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{6^2}+\dfrac{1}{8^2}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{25}{576}\\ \Rightarrow AH^2=\dfrac{576\cdot1}{25}=23,04\\ \Rightarrow AH=\sqrt{23,04}=4,8cm\)

Ta có: \(AB\cdot AC=AH\cdot BC\left(htl\right)\)

\(\Rightarrow6\cdot8=4,8\cdot BC\\ \Rightarrow48=4,8\cdot BC\\ \Rightarrow BC=\dfrac{48}{4,8}\\ \Rightarrow BC=10cm\)

Vậy: `AH = 4,8cm; BC= 10cm`

`c)` C/m: `AE * AB = AF * AC`

Xét \(\Delta AHB\) vuông tại `H`, đường cao `HE`

Ta có: \(AH^2=AE\cdot AB\left(htl\right)\)     `(1)`

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại `H`, đường cao `HF`

Ta có: \(AH^2=AF\cdot AC\left(htl\right)\)     `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` \(\Rightarrow AH^2=AH^2\)

\(\Rightarrow AE\cdot AB=AF\cdot AC\left(=AH^2\right).\)

Bạn tự vẽ hình.

(a) \(BC^2=AB^2+AC^2\left(Pythagoras\right)\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\left(cm\right)\)

+) \(sinB=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{5}\Rightarrow\hat{B}\approx53^o\)

+) \(\hat{C}=90^o-\hat{B}\approx90^o-53^o=37^o\)

(b) +) \(AB.AC=BC.AH\Leftrightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{3\cdot4}{5}=2,4\left(cm\right)\)

\(\hat{A}=\hat{E}=\hat{F}=90^o\left(gt\right)\Rightarrow AEHF\) là hình chữ nhật.

Do đó, \(EF=AH\left(đpcm\right)\)

Tứ giác AEHF là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) \(\Rightarrow HE=AF\)

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AFH:

\(AH^2=AF^2+HF^2=HE^2+HF^2\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB với đường cao HF:

\(HF^2=AF.FC\)

Tương tự:

\(HE^2=AE.EB\)

\(\Rightarrow AH^2=HE^2+HF^2=AE.EB+AF.FC\) (đpcm)

b: Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{EAD}=90^0\)

Do đó: ADHE là hình chữ nhật

Suy ra: AH=DE